第34卷第7期光子学报2005年7月Vol.34No.7July2005自聚焦透镜的傅里叶变换性质及成像性质郎贤礼刘德森33朱少丽吕涛(西南师范大学物理学院,重庆400715)3摘要对自聚焦透镜的二维傅里叶变换性质,成像性质以及脉冲响应作了系统论述1并从理论上对自行研制的自聚焦透镜的光斑尺寸进行了计算.在不考虑像差的情况下,直径为1.8mm的透镜其出射光斑直径为1.2μm,利用狭缝扫描法进行了实际测量,测量值为1.5μm,理论值与实验值基本吻合,从而说明理论分析的合理性1关键词自聚焦透镜;傅里叶变换;脉冲响应;光斑中图分类号TN253文献标识码A0引言自聚焦透镜(Selfoc)已被广泛应用于光纤通信和成像系统[1]中,特别是在光纤通信中,可作为连接器、耦合器、衰减器、光开关,源器件[2]1目前,、,但用傅里叶光学的方法来讨论的文章并不多见.本文采用傅里叶变换理论,对自聚焦透镜的光学性质进行了讨论1从波动光学的观点来看,透镜的作用就是一个位相变换器,对自聚焦透镜也可以,仿照薄透镜的位相变换函数,得到薄透镜型自聚焦透镜的位相变换函数,进而推导出自聚焦透镜的脉冲响应,并可以利用脉冲响应计算出光斑的尺寸1通过与光斑实际测量值的比较来看,这种计算值比较接近测量值,比一般的计算方法准确11.1薄透镜的位相变换函数y(2)<(=0Δ(x,y)],,Δ(x,y)是坐标为(y),Δ0是透镜中心最大厚度1在近轴近似下,其位相变换可写为[3]ΔtL(x,y)=exp[jkn0]exp[-j(x2+y2)](3)2f1.2薄透镜型自聚焦透镜的位相变换函数若一条光线在透镜的平面上坐标为(x,y)的点射入,而在相对的另一面上近似相同的坐标射出,也就是说忽略光线在透镜中的平移,那么这个透镜的作用只是使入射波前发生延迟,其大小正比于各点的折射率1令自聚焦透镜的厚度为z,在坐标(x,y)处的折射率满足[4]n(x,y)=n(0)[1-222g(x+y)]2(4)1位相变换函数在成像光学系统中,透镜类的几何光学元件既限制了波阵面而又可提取部分入射波进入系统,还起着变换波面的作用,为此引入一个复振幅透过率函数,反映这两方面的性质1设透镜前后的入射波和透射波分别:UL(x,y),U′L(x,y),且认为两者振幅相等,则透镜的透过率可表为′tL(x,y)==exp[j(φ2-φ1)]UL(x,y)n(0)是自聚焦透镜中心轴处的折射率,g为自聚焦透镜聚焦常数1那么波通过透镜发生的位相延迟写为φ(x,y)=kzn(x,y)(5)k为常数因子,n(x,y)为点(x,y)的折射率分布1将式(5)代入式(1),得tL(x,y)=exp[jkzn(x,y)](6)(1)把式(4)代入式(6),得到自聚焦透镜的位相变换函数tL(x,y)=exp[jkzn(0)]・exp[-j2(φ2-φ1)为入射波和透射波的位相差12(x2+y2)](7)则tL(x,y)称为透过率函数,也称为位相变换函数1重庆市科委(413223)和重庆市计委(413227)资助项目33Tel:02368254607Email:liuds@swnu.edu.cn收稿日期:200405183利用自聚焦透镜焦距公式[5]f=n(0)g・sin(g・z)n(0)gz2(8)当g・z很小时,式(8)变为f=(9)则式(7)变为7期郎贤礼等1自聚焦透镜的傅里叶变换性质及成像性质989tL(x,y)=exp[jkzn(0)]・exp[-jk(x2+y2)]2f(10)式(10)即为薄透镜型自聚焦透镜的位相变换函数1因此,光场在(xf,yf)处的振幅和位相仍和物体的频率为(xf/λf,yf/λf)有关1但在d0=f这一特殊情况下,这一位相因子为零1显然,若物体放在透镜的前焦面上,则位相弯曲消失,而得到准确的傅里叶变换关系1到现在为止完全忽略了透镜孔径的有限大小所造成的效应1为了把孔径效应考虑进来,事实上绝大多数情况下,透镜的孔径要比物体大得多,并且离透镜的距离足够小,会使物体深深位于透镜孔径的菲涅耳区域之内,例如自聚焦透镜作光纤耦合器,就是一个例子.所以这个条件会被满足,所得到的公式就会准确成立12自聚焦透镜的二维傅里叶变换性质2.1薄透镜型自聚焦透镜傅里叶变换性质薄透镜型的自聚焦透镜是应用最广泛的透镜之一,通常是略小于1/4周期,为0.23或0.24周期.以这种透镜为例,研究它的傅里叶变换性质1考虑常用的一种光路,如图1,假定用单色光照明,并且只关心后焦面上光场振幅的分布13,如1图1Fig.1ImagingsketchofGRIN2rodlens物体放在透镜之前距离为d0的地方,由垂直入射的振幅为A的平面波照明1物体的振幅透过率用t0表示1此外令F0(fx,fy)代表透过物体的光场的傅里叶频谱,而F1(fx,fy)代表投射到透镜上的光场的傅里叶频...