多元q■高斯分布统计性质探讨刘君，吴海英（武汉理工大学理学院，武汉430070）摘要：本文以带随机项的微分方程组导岀的一种多元函数为研究对象，验证了它是一族关于q的多尺度密度函数（多元q-高斯密度函数）；然后研究了多元q-高斯密度函数的一些性质，特别是指出了在参数P=l/2且时它是通常我们称为的多元高斯分布密度函数，并且通过图讨论了多元q-高斯分布的一些性质，发现它较高斯分布具有尖峰厚尾性；最后推导出了多元q-高斯分布的一些数字特征（期望和协方差）。关键词：多元q-高斯分布；多元高斯分布；期望；协方差中图分类号：0212.2F224.7DiscussedstatisticalpropertiesofMultipleq-gaussiondistributionLiuJun,WuHaiying（WuhanUniversityoftechnology,theschoolofscience,WuHan430070）Abstract:thispapertakesamultivariatefunctionwhichderivedfromdifferentialequationswithrandomtermsystemastheresearchobject,verifieditisgensaboutqmulti-scaledensityfunction（multipleq-gaussiandensityfunction）;Andthenresearchsomepropertiesofthemultipleq-gaussiandensityfunction9especiallypointsoutthatwhenlheparameter0=1/2andqtendto1itisthemultivariategaussiandistributiondensityfunctionthatusuallywecalled,anddiscusssomepropertiesofthemultipleq-gaussiandistributionthroughthemap,findthatithaspeakandthicktail;Thelastdeducessomedigitalfeaturesofmultipleq-gaussiandistribution（expectationsandcovariance）・Keywords:kmultipleq-gaussiandistribution;Multivariategaussiandistribution;Expect;covariance0引言上个世纪一些复杂系统的统计特性不能被经典的统计力学方法所描述。这个世纪初著名统计学家Tsallis对经典的统计力学进行了推广，提出了非广延统计力学概念，发现了一系列非广延概率分布族（简称q■分布），包括q-高斯分布。实际生活生产中，多元髙斯分布的应用是最广泛的，而多元q-高斯分布可以看成是对高斯分布的推广，可见q■高斯分布的应用会更加广泛。它们很好的描述一些复杂系统特性，在物理，化学，数学，生物，地理备科学中都有广泛的应用。因此对多元q■高斯分布的密度函数及统计性质的研究相当重要。1多元q-高斯分布的密度函数表达式文献11-3］给出了几种类型的随机微分方程产生高斯波动的推导过程，其中文献|3］给出了带随机项的线性微分方程产生高斯波动的情况，Aki-HiroSato根据这一思想利用带白噪声多元随机微分方程组产生了多维的高斯波动，推导出了符合高斯波动的一类多元函数，我们将其称为多元q-高斯分布。多元q-髙斯分布关于随机向量X=（Xi,X2,LXA/）的密度表达式冋为作者简介：刘君，（1987），男，研究生，统计与数量经济。・通信联系人：吴海英，武汉理T大学理学院，女，副教授，统计与数量经济。E-mail:wuhy@whut.cdu.cn4555M+++M1z=i8qi122M-J1/=1s1qi122M+++M00210.iay\iiM13]M'M1qi122M(200<0打1qd1/=lZ©(®j)/=H=1111其中，Z\qi=B1(q,1220"为正交矩阵0的第7行;/列元素。记®(®i,®2,®」w),q=(q\,qi,L,qM).下面我们来验证它是一个密度函数(1)止则性当1<0<3,©/>0时1MM•WMr=l2i=\111Zlqj(®j)=B1(qj122故M维的q-高斯密度函数(1-1)具有非负性.即M11MM1nF>0Z=1k=\(2)规范性作变换丫=[yi,pL,yM]r=QX,即yi=ijj，令1+®i(gi1)02=J=1则P(x\.xiL,XM)dx\dxiLdxMG122111,)y22P(yi,ytL,yw)Q\dy\dyiLdyuP(X\yX2,L，XM)=Z(1+®j(qj1)QijXiXk)Qx++L+=++L+I711+dy\L+dyM\+[1+®i(qi1)y]--------—A—日[1+®心])y];=iB(+dsL+ds+2(ISi)CISM-ri®i如J,qj，Qij为参数,®j>(),1<<7/<3,=L(i+®八ei)Q©g=[i+®；toi)(e.//x)2]>ody\L+dyMi+|1M1]2—+：・〃E1L+dSM2+Si1cp2(1Si)2dSMIf=l]£_]]+()S\q\12(1S\)2ds\MS•(1=1p(0,0,LP)=qiM1)(Qaxt')]2i(i>^0f=l当且仅当QiiXi=0r=l时上式不等式取等号P(X\,X2L,XM)=B(1=1M111£B1I1=1土炎筋‘1)[1+®呷:1)(MQij)2]l(!•(—p护0M当且仅当2^,=0上式取等号，解得上=0(21,2L,M)/=1在Xi(2)证明(i=1,2LM)时,密度函数〃(“X2兀w)M兀，[l+®「©1)(QuXj)2]j=\+而-----v°・l・qi占2品'石所以p...