1．2.2全称量词和存在量词[学习目标]1．理解全称量词、存在量词的概念及其表示方法．2．掌握含有全称量词的命题和含有存在量词的命题的真假性的判定方法．[知识链接]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)至少有一个x∈Z，使2x＋1是整数．答：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．[预习导引]1．“任意”、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“∀”表示．“存在”、“某个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“∃”表示．涉及量词的命题必须指出量词的作用范围．2．命题“∀x∈I，p(x)”的否定，是“∃x∈I，¬p(x)”；命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，¬p(x)”．要点一含有全称量词与存在量词的命题真假的判断例1判断下列命题的真假．(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；(4)有些整数只有两个正因数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．(4)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．规律方法(1)要判定命题“∀x∈I，p(x)”是真命题，需要对集合I中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合I中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个命题就是假命题．(2)要判定命题“∃x∈I，p(x)”是真命题，只需在集合I中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合I中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个命题是假命题．跟踪演练1判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>；(2)∀x，y∈N，都有x－y∈N；(3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.解(1)真命题． x2－x＋1－＝x2－x＋＝2＋≥>0，∴x2－x＋1>恒成立．(2)假命题．例如x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.(3)真命题．例如x＝0，y＝3符合题意．要点二含有全称量词与存在量词的命题的否定例2写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)所有末位数字是5的整数都能被5整除；(2)每一个非负数的平方都是正数；(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)有的四边形没有外接圆；(5)某些梯形的对角线互相平分．解(1)存在一个末位数字是5的整数不能被5整除，假命题．(2)存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题．(4)所有四边形都有外接圆，假命题．(5)所有梯形的对角形都不互相平分，真命题．规律方法命题的否定是将其全称量词改为存在量词或存在量词改为全称量词，并把结论否定．跟踪演练2写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋<0，假命题． ∀x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，∴¬p是假命题．(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题． ∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立，∴¬r是真命题．(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． x＝－1时，x3＋1＝0，∴¬s是假命题．要点三含有量词的命题的应用例3(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．解(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R， y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－，又 ∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－即可．∴实数m的取值范围是(－∞，－)．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R， y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]．又 ∃x∈R，sinx＋cosx>m有解，∴只要m<即可，∴实数m的取值范围是(－∞，)．规律方法有解和恒成...