7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1复数的三角形式的运算设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则(1)乘法：z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．(2)除法：z1÷z2＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z2≠0)，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．(4)开方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)．知识点2复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义．---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---z2≠0，的几何意义是把z的对应向量OZ1按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.【合作探究】探究一复数的三角形式的乘、除运算【例1】(cos＋isin)·(cos＋isin)．[解](cos＋isin)·(cos＋isin)＝·[cos(＋)＋isin(＋)]＝(cos＋isin)＝(＋i)＝＋i.归纳总结：r1cosθ1＋isinθ1·r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cosθ1＋θ2＋isinθ1＋θ2]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.【练习1】设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)＝2coscos＋i(2sincos)＝2cos(cosθ＋isinθ)＝－2cos---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---. θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，∴－2cos>0，所以复数z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)．探究二复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量OZ与－1＋i对应，把OZ按逆时针方向旋转120°，得到OZ′，求与向量OZ′对应的复数[解]将向量OZ逆时针方向旋转120°，得到OZ′，由于模未发生变化，应当是OZ对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)，即z′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝(cos255°＋isin255°)＝－i.归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝.证明：∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i的辐角主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i的辐角，∠1，∠2，∠3都是锐角，所以∠1＋∠2＋∠3＝.课后作业A组基础题一、选择题---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为()A．sin30°＋icos30°B．cos240°＋isin240°C．cos30°＋isin30°D．sin240°＋icos240°【答案】B2．若z＝cosθ－isinθ，则使z2＝－1的θ值可能是()A．0B.C．πD．2π【答案】B解析： z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)，∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1，∴∴θ＝.3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝()A．6＋6iB．6－6iC．－6＋6iD．－6－6i【答案】D解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12＝－6－6i.故选D.4．复数z1＝1，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg()的值为()A.B.C.D.【答案】D5．(多选...