[初中数学“比较型”题型解法初探]初中数学特殊题型解法【摘要】“比较型”题型在数学教学中经常出现，由于其形式灵活，构思精巧，知识覆盖面广，应用十分广泛。学好其解法和技巧可以开阔学生思路，活跃学生思维，有“事半功倍”之功效。【关键词】比较型题型；特殊值法；换元法；倒数法；因式分解；构造法【中图分类号】G633.6【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）13-0270-02“比较型”题型在数学教学中经常出现，由于其形式灵活，构思精巧，知识覆盖面广，应用十分广泛。在数学考试中有关“比较型”的题目多种多样，难易程度不同，其解法和技巧也是多种多样。特别是某些题目的解法和技巧，让人有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。学好其解法和技巧可以开阔学生的思路、活跃学生思维，有“事半功倍”之功效，从而达到提高学生智力之目的。常见比较型题目除采用做差比较、做商比较、平方比较以外，还可采用以下方法：特殊值法所谓特殊值法是指假设某些符合条件的数值，使问题具体化、形象化和可操作化，从而完成解答。例：若xP>Q>N.故选D2换元法所谓换元法就是在一个比较复杂的代数式中，用新的变元去替代原式的一个部分或改进原来的式子，使它简化，使问题易于解决。例：试比较xxxx与xxxx的大小分析：在题目中出现了3个无法计算的代数式：xxxx、xxxx和xxxx。不防将中间的xxxx作为参照，令其为X，从而得到其xxxx和xxxx之间的关系，再进行比较。解：设xxxx=x，则xxxx=xxxxx=23x3倒数法我们知道，某些代数式与其倒数之间有着微妙的规律，乘积为1，对某些无法计算的算式，将其倒数化，会使问题迎刃而解。例：试比较的大小。分析：在平时的解题中，如果我们细心就会发现3-2的倒数为3+2，4-3的倒数是4+3，5-4的倒数是5+4，利用这一规律适合这一题目，将会很具体。4因式分解法所谓因式分解法就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。它是恒等零形的基础，因式分解方法主要有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、利用拆项、求根分解、换元、待定系数法等等。例：已知a>b>c，证明a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）>0分析：以a为主元将左边进行分式分解，再进行证明。左边=（b-c）a2+（c2-b2）a+（b2c-bc2）=（b-c）a2-（c-b）（c+b）a+bc（b-c）=（b-c）[a2-（b+c）a+bc]=（b-c）（a-b）（a-c）∵a>b>c∴a-b>0.a-c>0.b-c>0.∴（b-c）（a-c）（a-c）>0.故：a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）>05分子有理化对于一个分数来说，若分子式一个无理数组成的代数式，采取方法是将其化为有理数的过程成为分子有理化。分子有理化可以统一分子，实现一些在标准形式下不易进行大小的比较，有时可大大简化一些乘积运算。例：已知：c>1，x=c-c-1，y=c+1-c，z=c+2-c+1，则x、y、z的大小关系是（）。A.x>y>zB.z>x>yC.y>x>zD.z>y>x分析：该题目直接比较大小困难重重，如果利用分子有理化将是转化成由代数式相加表示.问题便得到简化。6构造法所谓构造法就是在解题目时，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素（可以是图形、方程组）、等式、函数、等价命题等，从而架起一座连接条件和结论的桥梁。以便使问题得到解决。运用构造法解题、可以使代数、三角、几何等多种数学知识互相渗透，它也是体现创造性思维的一个重要环节。例：已知当0x1时，二次三项式x2-2ax+a2-1的值恒为正数，求实数a的取值范围。分析：此二次三项式以x为主元降幂排列，可采用配方法将其分解因式，利用二次函数的性质（结合图形）就可确定a的取值范围。因二次项系数为1，所以函数开口向上，又因当0x1时，二次三项式的值恒为正数。所以函数图像如图所示。分类讨论：①当a-1>1时，得a>2；②当a+17反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这一假设出发，经过正确推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法，其方法有归纳法和穷举法。