2011年6月第25卷第2期总84期北京联合大学学报(自然科学版JournalofBeijingUnionUniversity(NaturalSciencesJun．2011Vol．25No．2SumNo．84[收稿日期]2010－09－20[作者简介]王海菊(1966—,女,黑龙江人,北京联合大学基础部讲师,研究方向为应用数学与数学教学。二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法王海菊(北京联合大学基础部,北京100101[摘要]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法,计算量很大。本文在不脱离教材特解的求法,利用推导特解过程中出现的重要式子Qᵡ(x+(2λ+pQ'(x+(λ2+pλ+qQ(x=Pm(x,简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项eλx[Pl(xcosωx+Pn(xsinωx]是先设变换,化简右端非齐次项。[关键词]微分方程;特解;待定系数法[中图分类号]O241.8[文献标志码]A[文章编号]1005-0310(201102-0073-03SimplificationforParticularSolutionofSecondOrderLinearNon-homogeneousDifferentialEquationwithConstantCoefficientsWANGHai-ju(BasicCoursesDepartmentOfBeijingUnionUniversity,Beijing100101,ChinaAbstract:Theparticularsolutionofsecondorderlinearnon-homogeneousdifferentialequationwithconstantcoef-ficientsisbymeansofunderminedcoefficients,whichisrelativelycomplex．Insteadofusingthemethodofparti-cularsolutioninteachingmaterials,importantformulaindeducingparticularsolutionisadopted．Thesolutionoftheproblemcanbesimplified．Keywords:differentialequation;constantcoefficients;particulars0引言一般教材中,二阶常系数线性的非齐次方程yᵡ+py'+qy=f(x(1的特解采用待定系数法[1],计算量很大,也很繁琐;有的文献给出特解公式[2-3],又很难记住公式。采取以下方法减少运算量,又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项f(x主要有两种类型:f(x=Pm(xeλx及eλx[Pl(xcosωx+Pn(xsinωx]1f(x=Pm(xeλx型解法是设特解y*=xkQm(xeλx=Q(xeλx,其中Q(x=xkQm(x是k+m次多项式,将特解y*代入方程(1,化简并整理得:Qᵡ(x+(2λ+pQ'(x+(λ2+pλ+qQ(x=Pm(x。(2结论1λ不是特征方程的根时,取k=0,2λ+p及λ2+pλ+q都不为零;2λ是特征方程的单根时,取k=1,λ2+pλ+q=0,此时式(2就简化为Qᵡ(x+(2λ+pQ'(x=Pm(x;3λ是特征方程的重根时,取k=2,λ2+pλ+q=0,且2λ+p=0,此时式(2就简化为Qᵡ(x=Pm(x。北京联合大学学报(自然科学版2011年6月可见利用式(2,只需求Q'(x及Qᵡ(x即可,不需求y*的一阶,二阶导数,可以大大简化此类题的计算量。以教材[1]中例题或习题为例。求yᵡ－2y'+y=(2x+1e－x的特解。解:由于λ=－1,不是特征方程的单根,取k=0。设特解y*=(ax+be－x,则Q(x=ax+b,将Q(x代入式(2有:(－2－2a+(1+2+1(ax+b=2x+1,即:4ax－4a+4b=2x+1。由待定系数法得:a=12,b=34,Q(x=12x+34。因此求得一个特解为y*=12x+(34e－x,求yᵡ－5y'+6y=xe2x的特解。解:由于λ=2,是特征方程的单根,取k=1,Q(x的系数为零。设特解y*=x(ax+be2x,则Q(x=ax2+bx,将Q(x代入式(2有:2a+(4－5(2ax+b=x,即:－2ax+2a－b=x。由待定系数法得:a=－12,b=－1,Q(x=－12x2－x。因此求得一个特解为:y*=x－12x－(1e2x。求yᵡ－6y'+9y=(x+1e3x的特解。解:由于λ=3,是特征方程的重根,取k=2,则Q'(x,Q(x的系数都为零。可设特解y*=x2(ax+be3x,则Q(x=ax3+bx2,将Q(x代入式(2有:6ax+2b=x+1。由待定系数法得:a=16,b=12,因此求得一个特解为y*=x216x+(12e3x。2f(x=eλx[Pl(xcosωx+Pn(xsinωx]型特解可设为:y*=xkeλx[R(1m(xcosωx+R(2m(xsinωx]。主要是当λ≠0时,用待定系数法求特解是很麻烦的。不妨先设变换y=eλxu(x代入式(1,消去eλx,得到一个与式(2极相似的式子uᵡ(x+(2λ+pu'(x+(λ2+pλ+qu(x=Pl(xcosωx+Pm(xsinωx(3。这时方程(3没有eλx,简化了非齐次项,就可利用式(3来简化运算。求yᵡ－y=excos2x的一个特解。解:通常解法是设特解y*=ex(acos2x+bsin2x,求y*的一阶、二阶导数是很麻烦的,那么可先设变换y=exu(x。将u(x代入式(3,原题应简化为:uᵡ(x+2u'(x=cos2x。(4设(4式的特解u*=acos2x+bsin2x,代入式(4,有:－4acos2x－4bsin2x－4asin2x+4bcos2x=cos2x。比较两端同类项的系数,有－4a+4b=1a+b={0...