2021年秋季高三数学开学摸底考试卷一、单选题1．设集合，，，则A．{2}B．{2，3}C．{-1，2，3}D．{1，2，3，4}【答案】D【分析】先求，再求．【详解】因为，所以.故选D．【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2．设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意可得，根据复数的乘法运算即可求解.【详解】复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则，所以.故选：A3．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，，，，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，求出，再求出外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.【详解】 三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，∴，∴ ，∴.设外接圆的半径为R，则，∴.∴外接球的半径为，∴球的表面积等于.故选：C.【点睛】本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.4．函数的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先化简得，令，求出对称轴即可判断.【详解】，令，，解得，，则可得是的一条对称轴.故选：A.5．椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（）A．2B．4C．6D．1.5【答案】B【分析】设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故，再结合中位线定理即可得答案.【详解】设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故，中,是的中点，是的中点，故是中位线，.故选：B.6．已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用二倍角公式化简得到再利用同角的平方关系求解.【详解】由题得所以因为，所以因为，所以.故选：D【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.7．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数得出，构造函数，利用导数证明，从而得出.【详解】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则由于函数在上单调递减，，则在上有唯一解，故在上有唯一解即当时，，则函数在上单调递减即，即故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系.8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除的整数有16个，进而根据古典概型的概率计算公式可解．【详解】解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，则算盘表示的整数能够被3整除的概率为．故选：．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是利用列举法把从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠所得到的整数列举出来.二、多选题9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附...