考点4.3双曲线圆锥曲线中的双曲线问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的双曲线问题在高考中逐步成为热点。通过具体的问题背景或新的定义，考察双曲线知识在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。本专题以单选题，填空题及解答题等形式体现双曲线的实际应用。解决基于问题情境的双曲线问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。解题要点：(1)利用双曲线中的平面几何关系建立关于a,b,c的方程或不等式；(2)利用方程或不等式进行实际问题求解。基础知识1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)小于|F1F2|=2c(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1,F2．(4)焦距：两个焦点间的距离，表示为|F1F2|.(5)定义中的条件0<2a<|F1F2|=2c不能少,这是根据三角形中的两边之差小于第三边得出来的.否则：1)当2a＝|F1F2|时,其轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；2)当2a>|F1F2|时,其轨迹不存在2.双曲线的标准方程、简单的几何性质及常用公式焦点位置在x轴上在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)x,y取值范围渐近线方程a,b,c的关系轴实轴长：2a；实半轴长：a，虚轴长：2b；虚半轴长：b.焦距|F1F2|＝2c；半焦距=c对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点离心率M为双曲线上一点,F1,F2为焦点，离心率范围：通径焦点到渐近线的距离b一般弦长公式焦点三角形面积公式M为双曲线上一点,F1,F2为双曲线焦点.等轴双曲线实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率为.双曲线（1）单选题1．（2021·北京高三期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（）(结果精确到)(参考数值：，，)A．B．C．D．【答案】B【分析】设出双曲线方程，写出点，代入双曲线方程即可求解.【详解】如图：建系，因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线方程，，又因为，，则，将代入双曲线方程，可得，解得，即，当水面下降，纵坐标，代入双曲线方程可得，.故选：B2．（2020·昆明市·云南师大附中高三月考（文））双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为，，且刚好三点共线，已知海里，海里，现以的中点为原点，所在直线为轴建系.现根据船接收到点与点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船在双曲线的左支上，根据船接收到台和台电磁波的时间差，计算出船到发射台的距离比到发射台的距离远30海里，则点的坐标（单位：海里）为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设由船到台和到台的距离差确定的双曲线方程为，根据双曲线的定义得出，再得出由船到台和到台的距离差所确定的双曲线为，与双曲线联立，即可得出点坐标.【详解】设由船到台和到台的距离差确定的双曲线方程为由于船到台和到台的距离差为30海里，故，又，故故由船到台和到台的距离差所确定的双曲线为联立，解得故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.3．（2019·湖南株洲市·株洲二中高三月考（理））有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得：设周长为当且仅当M、A、B共线时，周长的最小点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案4．（2020·全国高三专题练习（理））一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规...