第二届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2005年7月10口8：00-12：00福州）一、（1）设aeR,求证抛物线y=/+（a+2）x_2a+l都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物线上.（2）若关于x的方程〒+（d+2）x-2a+l=0有两个不等的实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）二、如图，圆O（圆心为O）与直线/相离，作OP丄！,P为垂足•设点Q是/上任意一点（不与点P重合），过点Q作圆O的两条不同的切线QA和QB,A和B为切点，4B与OP相交于点K.过点P作PM丄QB,PN1QA,M和心为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---M三、设〃是正整数，集合M二{1,2,…,2/?}.求最小的正整数使得对于M的任何一个R元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于4/7+1.（张鹏程,李迅供题）四、试求满足6z2+/72+c2=2005,且a<b<c的所有三元正整数组（d",c）.（陶平生供题）---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---第二天(2005年7月11H,8：00-12：00,福州)五、己知直线/与单位圆S相切于点P,点A与圆S在/的同侧，且A到/的距离为h(h>2),从点A作S的两条切线，分别与/交于5C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.(冷岗松，司林供题)六、将数集人二他宀,…“｝中所有元素的算术平均值记为P(A)，+©+•••+©)n若B是A的非空子集，且P(B)=P(A),则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集M=｛123456789｝的所有“均衡子集”的个数.(陶平生供题)---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---七、（1）讨论关于兀的方程|兀+1|+|兀+2|+|兀+3|=a的根的个数.（2）设a^a2,....an为等差数列，且%|+偽|+…+\^,i=q+1|+①+片+*—+1|=q_2+—2H—•+—2=507求项数〃的最大值.（林常供题）八、设0<a、/3、Y<巴,且sin36r+sin3^+sin3/=1,求证：tan26if+tan2^4-tan2y>^—（李胜宏供题）2---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---第二届中国东南地区数学奥林匹克（答案）一、(1)令fa(x)=x2+(a+2)x-+1=x2+2x+1+a(x-2),因此，抛物线过定点(2,9),且该抛物线的顶点坐标为兀=—出纟，y=~a~i2a,消去d得丁=一兀2+4兀+5(2)fa(x)=0较大的根为__(a+2)+J(G+2)，-4(1-2d)__(cz+2)+JG2+12G__(a+2)+J(G+6)~-36X———222令a+6=2k,则尢=_(2£_4)+J4/_36=旅-9-222当k<-3时，x>59当k>3吋，x=2—-1==—,可得一lvxv2加一9+£综上，方程较大的根兀的取值范围为（一1,22（5,+呵二、如图，作PI丄AB,1为垂足，记J为直线MN与线段PK的交点易知ZQAO=ZQBO=ZQPO=90n,故0、B、Q、P、A均在以线段0Q为直径的圆周上.rtl于PN丄QA,PM1QB,PI1AB,则由西姆松定理知AQAB的外接圆上一点P在其三边上的垂足N、M、I三点共线，即N、M、J、I四点共线因为Q0丄AB,PI丄AB,所以Q0//PI,因此有ZP0Q=ZIPO又P、A、I、N,P、A、O、Q分别四点共圆，所以ZPIJ二ZPAN=ZPAQ=ZP0Q=ZIPJ于是，在RtAPIK中，有ZPIJ二ZJPI,贝9J为PK的中点因此，直线MN平分线段KP---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---三、考虑M的n+2元子集：P={n-l,n,n+l,---,2n}P中任何4个不同元素之和不小于几一1+n+〃+1+n+2=4〃+2所以k>/?+3将M的元素配为斤对：Bt=(Z,2/i+1-z),\<i<n对M的任一n+3元子集A,必有三对B.,Bh,B.同属于A(人為仏两两不同)又将M的元素配为刃—1对：Cz=(z,2/7-z),\<i<n-\对M的任-“+3元子集A,必有-对C°同属于A•这一对C.必与刚才三对仇，血，如中至少一对无公共元，这4个元素互不相同，且和为2〃+1+2〃=4n+1综上，所求的最小正整数k=n+3四、由于任何奇平方数被4除余1,任何他平方数是4的倍数，而2005被4除余1,故a\b\c2三个数中必有两个偶平方数，一个奇平方数.设a=2m9b=2n9c=2k-lf为正整数(为了计算方便，暂不考虑a,b,c的大小关系).则原方程可化为m2+n2+k(k—1)=501①又因任何平方数被3除的余数，或者是()，或者是1,现计论£(1)若3|k(k-V),则由①式知3|加'+兀2,于是,m,n都是3的倍数.设m=3/7?,,n=3nx,并且处二9是整数.由①式有3又由①式，^-1)<501,所以k<22故由式③，£可以取3,7,12,16,21,分别代入②---本文来源于网络...