考点15基本不等式及其应用（2）【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2017苏北四市一模）已知正数a，b满足＋＝－5，则ab的最小值为________．【答案】.36【解析】因为正数a，b满足＋＝－5，所以－5≥2，当且仅当9a＝b时等号成立，即ab－5－6≥0，解得≥6或≤－1(舍去)，因此ab≥36，从而(ab)min＝36.2、(2015镇江期末）已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________．【答案】25【解析】因为＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，当且仅当x＝时取等号，所以＋的最小值为25.3、（2016苏州期末）已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为________．【答案】.4＋【解析】思路分析两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量．由题意得b＝，所以0<<1，即a∈(，1)，消去b，得＋＝＋＝＋＋2.解法1若注意到4(1－a)＋(4a－1)＝3，记S＝＋，则S＝＋＝[(4－4a)＋(4a－1)](＋)＝2＋[＋]≥2＋，当且仅当＝时等号成立，所以最小值为4＋.解法2＋＝，令2a＋1＝x，原式＝＝≥＝2＋.以下同解法1.4、(2016苏北四市期末）已知正数a，b，c满足b＋c≥a，则＋的最小值为________．【答案】.－【解析】因为正数a，b，c满足b＋c≥a，所以＋1≥，＋1≥＋，其中>0，>0，所以＋＝＋≥＋，(*)令t＝＋1(t>1)，则＝－，所以(*)可化为＋＝－＋≥2－＝－，当且仅当＝即t＝时取等号，于是＋≥－，即＋的最小值为－.5、(2017无锡期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，则＋－＋的最小值为________．【答案】.＋【解析】思路分析根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解．因为a＞0，b＞0，所以＋－＝＋－＝＋－＝＋≥，当且仅当b＝a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得＋－＋＝c＋－＋≥c＋.又因为c＋＝(c－2)＋＋≥＋，当且仅当c＝2＋时等号成立．所以＋－＋的最小值为＋.解后反思多变量函数的最值问题，通常需要消元．本题的关键是首先通过固定变量c(视a，b为主元)，然后利用代换(齐次化)，配凑等技巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求得了最小值．6、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则的最小值为________．【答案】【解析】注意到问题中含有两个变量a，b，且满足a＋b＝2，因此可以考虑进行消元，将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理．注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a＋b＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．注意到所求的代数式的分母可以因式分解为(a＋3b)(a－b)，因此，将a＋3b，a－b分别作为两个新的变量m，n，从而将问题转化为以新变量m，n的形式来加以处理．解析1(消元法)：因为a＋b＝2，所以0<b＝2－a<a，解得1<a<2，从而＝＝，令t＝2a－1∈(1，3)，则＝＝≥＝，当且仅当t＝时等号成立．解析2(化齐次式法)：因为a＋b＝2，所以＝＝＋＝＋，令u＝2－，因为a＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，故0<b<1，从而u＝2－＝2－＝3－∈(－∞，1)，则＝＋＝＋当u∈(0，1)时，u＋－6>0，此时>；当u<0时，u＋－6＝－－6≤－6－2，此时≥＋＝，当且仅当u＝－时等号成立．因此的最小值为.解析3(换元法)：因为＝，令m＝a－b，n＝a＋3b，从而a＝，b＝，从而＝＝＝(＋)，由a＋b＝2得m＋n＝4(m，n>0)，故由(m＋n)(＋)＝6＋＋≥6＋2，当且仅当n＝m时等号成立，此时＝(＋)≥.【问题探究，变式训练】题型一运用基本不等式解决含参问题知识点拨：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．【答案】、(－∞，9]【解析】、m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.解法1(消元法)由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.解法2(“1”的代换)因为x，y...