§5.3三角函数的图象与性质最新考纲考情考向分析1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质．2.了解三角函数的周期性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．(×)(2)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(×)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(×)(5)y＝sin|x|是偶函数．(√)题组二教材改编2．[P35例2]函数f(x)＝cos的最小正周期是________．答案π3．[P46A组T2]y＝3sin在区间上的值域是________．答案解析当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即y＝3sin的值域为.4．[P47B组T2]函数y＝－tan的单调递减区间为________________．答案(k∈Z)解析由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得＋<x<＋(k∈Z)，所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)．题组三易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是()A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin答案B解析函数y＝2sin的最小正周期T＝＝π，又sin＝1，∴函数y＝2sin的图象关于直线x＝对称．6．函数f(x)＝4sin的单调递减区间是______________________．答案(k∈Z)解析f(x)＝4sin＝－4sin.所以要求f(x)的单调递减区间，只需求y＝4sin的单调递增区间．由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________．答案sin68°>cos23°>cos97°解析sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°>cos23°>cos97°.题型一三角函数的定义域1．函数f(x)＝－2tan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.2．函数y＝的定义域为________．答案(k∈Z)解析方法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为.3．函数y＝lg(sinx)＋的定义域为________．答案解析要使函数有意义，则即解得所以2kπ<x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为.思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二三角函数的值域(最值)例1(1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－B．0C．－1D．－1－答案A解析因为0≤x≤9，所以－≤－≤，所以－≤sin≤1，则－≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－.(2)函数y＝cos2x＋2cosx的值域是()A．[－1,3]B.C.D.答案B解析y＝cos2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝22－，因为cosx∈[－...