课下层级训练(三十三)数列求和[A级基础强化训练]1．(2019·山东威海检测)数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为()A．B．C．D．【答案】B[bn＝＝＝＝－，前10项和为－＋－＋…＋－＝－＝.]2．(2019·广东广州调研)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于()A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－【答案】A[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.]3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是()A．16B．20C．33D．120【答案】C[由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.]4．(2019·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前20项的和为()A．B．C．D．【答案】B[由a9＝a12＋6及等差数列通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4＝a1＋d，∴a1＝2＝d，∴Sn＝2n＋×2＝n2＋n，∴＝＝－，∴数列的前20项的和为1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.]5．(2019·山东枣庄检测)1＋＋＋…＋的值为()A．18＋B．20＋C．22＋D．18＋【答案】B[设an＝1＋＋＋…＋＝＝2.则原式＝a1＋a2＋…＋a11＝2＋2＋…＋2＝2＝2＝2＝2＝20＋.]6．(2019·山东邹城月考)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2020项和S2020＝________.【答案】1010[根据题意，得an＋an＋1＝1，n∈N*且a1＝－1，所以a1＋a2＝－1＋a2＝1，即a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，所以数列的周期T＝2，所以S2020＝(－1＋2)＋(－1＋2)＋…＋(－1＋2)＝＝1010.]7．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.【答案】[设等差数列{an}的公差为d，则由得∴Sn＝n×1＋×1＝，＝＝2.∴＝＋＋＋…＋＝2＝2＝.]8．已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为________.【答案】1024[ ＝1＋n，∴Tn＝n＋1－，∴T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，又m>T10＋1013，∴整数m的最小值为1024.]9．(2019·山东莱芜检测)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，首项a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】解(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.(2)由(1)得bn＝n＋2n，∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.10．(2019·山东淄博检测)已知等差数列{an}的公差为2，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(n∈N*)，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn＜成立的最大正整数n.【答案】解(1)由题意知，(a2－1)2＝(a1－1)(a4－1)，即(a1＋1)2＝(a1－1)(a1＋5)，解得a1＝3，故an＝2n＋1，n∈N*.(2)由bn＝＝，得Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝＝，由＜，解得n＜6.故所求的最大正整数n为5.[B级能力提升训练]11．已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】解(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.得解得d＝1，q＝2，所以an＝1＋(n－1)＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.(2)由(1)知，cn＝anbn＝n·2n－1，则Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①2Tn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n②①－②得－Tn＝1·20＋1·21＋1·22＋…＋1·2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1.所以Tn＝(n－1)·2n＋1.12．(2019·河北承德检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d<S9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】解(1)因为d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d<S9...