§1~3二次函數的最大值與最小值壹、補充重點(1)二次函數的最大值與最小值應用一覽表：名稱已知條件結論最大值的應用分成兩數自然數N?x，yN當x=y=時，2x與y的乘積最大2N=最大乘積4?定長m圍成一矩形時以正方形面積為最m大，其邊長為42m??=最大面積??4??最小值的應用N分成兩數?自然數x，yN當x=y=時，2x與y的平方和最小2N=最小平方和2，分成兩線段a?定長mb分別為邊各作一正方形m時，兩正方當a=b=2形面積和為最小2m=最小面積和2時k?兩正數之積為定值(xy=k，x>0，y>0)時，當x=y=kx+y的和最小最小的和：x+y=2=2kxy設矩形的長，寬分別當x=y時，矩形周最小的周長=4為?x，y，若其面積一定時長為最小xy(2)二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值：函數y=f(x)?若頂點位於範圍??x??內時，圖形如下：yy(m,n))),f(α(α,f((ββ))(α,f(α))oxxo(m,n)(β,f(β))若頂點為(m,n)而圖形二端點為(?,f(?))，(?,f(?))，則n，f(?)，f(?)三者中?較小者為最小值，?較大者為最大值。?若頂點不位於範圍??x??內時，圖形如下：19y))(β,f(βy))αα,f((xo較小者為二者中?f())，則?)，f(?)圖形二端點為(?,f(?))，(?,f(??較大者為最大值。最小值，最大值與最小值的求法，除可利用二次函數來求外，尚可利用下(3)列的方法：b?a)(幾何平均數??(算術平均數)利用??ab22x+3y之最小值。例：二正數x，y，若xy=24，求yx?32?????2x+3y 32?xy26?yx224故最小值為2=24∴2x+3y?144∣∣a+b∣∣+b∣??利用∣a∣之最小值。-5x+2∣+∣x例：設x為實數，求∣∣∣(x+2)+(5-x)∣x+2+∣5-x∣?∣ ∣x+2∣+x-5∣=∣=77故最小值為5∣?7x∴∣x+2∣+∣-0??利用一元二次方程式D22之最k1)=0-(k-1)x+(k有實根，求-x為實數，方程式例：設k大值與最小值。220?(k1)--4×1×1)]--(k[D 方程式有實根∴?0??01)(3k+5)?0(k-?--(k1)(k-14k-4)55-。，最小值為之最大值為，故??∴1k-k133分式型：當分子為定值，分母最大時分式的值為最小；分母最小?20時分式的值為最大。12之最大值。y=例：設x為實數，求2x?2x?4222+3?+2x+1)+3=(x+1)3+2x+4=(xx 122=4。有最大值有最小值3，此時y+2x+4x1時，∴當x=-3利用配方?22之最小值。+y6y+20+4x-，求AA=xy例：設x，為實數，22226y+9)+76y+20=(x--+y+4x+4)+(y+4xA=x 227+7?=(x+2)+(y-3)。A∴之最小值7貳、例題21?72【答：3，試求此二次函數之最小值？+2x-】例1.y=2x2解：2+ax+b，當x=3時，有最大值4，則a=？b=？3x-2.二次函數y=例解：【答：18、-23】2x=3時，有最小值-2，且圖形通過，當+bx+cy=ax3.二次函數例】7、？，則7)a=？b=c=？6-、1【答：，(0解：2之最大值與最小時，試求y，當6x+10-14x??y=x例二次函數4.22值？【答：5、1】解：2-2x+4，當2時，試求y之最大值與最小值？3?x?y=x二次函數例5.】4、7【答：解：275x+10-之最小值為？【答：】y=2x6.例x為正整數，則二次函數解：25t晴晴向上拋擲一球，經7.例ts=30t公尺，且有秒後距離地面s-23之關係式，試問此球擲出後，距離地面最高可達多少公尺？解：【答：45公尺】，、2，試在座標上求一點P為數線上兩點，座標分別為例8.A、B7922【答：為最小？PB?PA】使得2解：bc+ac+c4：，試求ab-之最大值？c=3b2b=1a9.例設：：且：8【答：】解：3公尺的鐵絲網，在河邊圍一長方形之菜園，河邊某人以長10.例10024當作一直線不圍，試求所能圍成的最大菜園面積？解：【答：1250平方公尺】9xy之最大值？【答：】2x+y=6x>0例11.、y>0，，試求2解：ab【答：2之最小值？】?，試求例12.、b>0a>0ba解：4|+|x-13.例y=|x之最小值？y，試求-3|1【答：】25解：【答：2|1|+|x-，試求y之最小值？2】y=|x|+|x例14.-解：y【答：4之最小值？】，試求---15.例y=|x1|+2|x2|+3|x3|解：82之最大值為？【答：+3mx+2m之最小值為，則MMy=2x例16.】926解：參、習題2722+5x+a1)x二次函數y=(a-1.的圖形通過(-1，0)，(1)當函數有最大值時，則a=？(2)當函數有最小值時，則a=？解：?32x=y=ax2.二次函數在+12x+b時有最小值10，則a=？b=？2解：2+bx+2，若f(-，則f(x)之最大值為？41)=0、f(3)=-f(x)=ax3.解：2y=x4.二次函數-4x+5時，試求0之最大值與最小值？y，當4x??28解：2-2x+5，當2時，試求yy=x5.二次函數...