有限元与数值方法-讲稿20几何非线性有限元分析课件

第8章几何非线性有限元分析8.1大变形条件下的应变和应力度量一.应变度量结构的初始构型:P:,Q:t时刻的构型:P’:,Q’:---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---两种构型下的坐标可相互转化:*拉各朗日(Lagrange)描述基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数,描述各个量。*欧拉(Eular)描述基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数,描述各个量。---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---根据以上变换:,定义:,PQ线段的长度:P’Q’变形后的长度:---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---,Green-Lagrange应变(Green应变),Almansi应变---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---定义位移向量:,Green应变---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---Almansi应变在小应变情况下:工程应变Cauchy应变---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---二.应力度量欧拉应力张量(Green应力张量):表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量变形后表面上的应力:,---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---变形前的应力:需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法:(1)Lagrange规定:(2)Kirchhoff规定:与坐标变换规律相同:---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---,:第一类Piola-Kirchhoff应力(Lagrange应力张量),非对称,---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---:第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量,对称各种应力张量之间的关系:(1)由质量守恒:(2),(3),(4)---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---注意:是非对称张量,是对称张量。---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---8.2几何非线性问题的表达格式虚位移原理(虚功原理):虚功原理的初始参考构型表示形式:---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---为了便于求解:将应力和应变分解成:从t到时刻引起的应力增量从t到时刻引起的应变增量将应变增量进一步分解:---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---平衡方程的线性化(1)物理方程的线性化:对于弹性材料,该关系式准确的。如果是小变形,则有材料的弹性常数张量。(2)求解格式的进一步线性化:---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---带入虚功方程,可获得用位移和应变表示的虚功方程:---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---8.3有限元求解方程及解法一.有限元方程:静力问题:按照一般的有限元法的基本思想,将结构离散成有限单元,每个单元中,选择相应的形函数,将节点坐标、位移等相应的量,通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。坐标:,,---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---位移:,代入虚功原理:,---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---,---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除------本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---经过集成后,可获得有限元控制方程:该方程是一个非线性方程组。其非线性体现在刚度系数矩阵上。在时间步中,刚度矩阵是切线模量。这与物理非线性问题是相同的。---本文来源于网络,仅供参考,勿照抄,如有侵权请联系删除---另一方面,右端项与待求的位移增量{u}相关。这也造成了非线性。求解方法:可采用求解物理非线性问题的方法求解。三.有限元方程的解法基本思想:在每个时间步中,采用非线性方程的求解方法,进行迭...

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