专题四利用导数证明函数不等式（一）函数不等式的证明由于其形式多变，方法灵活，成为了近几年高考的一个热点与难点，它一般出现在压轴题的位置，解决起来比较困难．利用导数作为工具进行证明是证明函数不等式的一种常见方法，本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．模块1整理方法提升能力对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，得到一平一曲、两曲两种模式中的一种．当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可．当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过曲线进行隔离．由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反．当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与轴平行或重合．当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲．常用不等式的生成在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成．生成一：利用曲线的切线进行放缩设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）．与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．例1设函数，曲线在点处的切线为．（1）求、；（2）证明：．【解析】（1）因为，，而，所以，解得，．【证明】（2）法1：（寻找公切曲线隔离）由（1）知，，于是．由于混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为．令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增．而递减，所以两个函数的凸性相同（都是下凸函数）．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线，将两个函数进行隔离，从而实现证明．，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．由于等号不能同时成立，所以．法2：（寻找公切线隔离）由（1）知，，于是，将不等式改造为．令，则．由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．令，则．由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，所以．两个函数的凸性相反．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的公切线，将两个函数进行隔离，又因为等号不能同时成立，所以．【点评】法1中的两个函数凸性相同，因此需要寻找公切曲线进行隔离，公切曲线的寻找需要有一定的函数不等式放缩经验．该放缩与常用不等式以及有关，因此熟练掌握与、有关的常用不等式，能有效打开某些不等式的证明思路，使题目的难度降低．法2中的两个函数凸性相反，且两个函数的最值相同，此时可寻找到与轴平行的公切线，实现隔离放缩．如何恰当地“改造”函数是解题的关键，这需要我们熟悉与、、四则运算组合后的函数，如：（1）、、、…过原点，先减后增；（2）、、、…过原点，先增后减；（3）、、、…在上递减，在上先减后增；（4）、、、…在上先减后增；（5）、、、…在上先增后减；（6）、、、…在上递减，在上先减后增．例2已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，．【解析】（1），因为在曲线上，且，所以切线方程为，即．【证明】（2）法1：．当时，，令，则，，于是在上递...