二次函数图像和性质知识网络重难突破知识点一二次函数的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数a≠0，而b，c可以为零．二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：1等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．2a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．典例1（2018春金华区期末）下列函数是二次函数的是（）A．y=x（x+1）B．x2y=1C．y=2x2-2（x-1）2D．y=x—0.5【答案】A【详解】A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；B、整理后：y=1x2，不符合二次函数形式，故本选项错误；C、整理后，该函数的自变量的最高次数是1，属于一次函数，故本选项错误；D、该函数属于一次函数，故本选项错误.故选A．典例2二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．【答案】﹣5、3、1【详解】解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．故答案为：-5、3、1．典例3（2018春门头沟区）已知函数为二次函数，求m的值．【答案】m=﹣1【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．【详解】解：由题意：{m−1≠0m2+1=2，解得m=−1，∴m=−1时，函数为二次函数．21(1)3mymxx21(1)3mymxx知识点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的基本表现形式：①y=ax2；②y=ax2+k；③y=a(x−h)2；④y=a(x−h)2+k；⑤y=ax2+bx+c.第一种：二次函数y=ax2的性质（最基础）第二种：二次函数y=ax2+c的性质第三种：二次函数y=a(x−h)2的性质第四种：二次函数y=a(x−h)2+k的性质二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x−h)2+k的形式，其中h=−b2a，k=4ac−b24a.典例1（2019春南通市期末）二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为（）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0，0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下(0，0)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h，0)X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．a<0向下(h，0)X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h，k)X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．a<0向下(h，k)X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．A.（0，0）B.（0，﹣1）C.（﹣2，﹣1）D.（﹣2，1）【答案】B【详解】解： y=−2x2−1,∴其图象关于y轴对称，∴其顶点在y轴上，当x=0时，y=−1，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.典例2（2018春松江区期末）关于二次函数y=(x+2)2的图像，下列说法正确的是（）A．开口向下B．最低点是C．对称轴是直线x=2D．对称轴的右侧部分是上升的【答案】D【详解】对于二次函数y=(x+2)2的图像， a=1＞0，所以开口向上，故A错误；最低点是（-2,0），故B错误；对称轴是直线x=−2，故C错误；对称轴的右侧部分，y随x的增大而增大，∴是上升的，D正确；故选D.典例3（2019春溪湖区期末）抛物线y=−2¿顶点坐标是A．(2,−3)B．(3,0)C．(−2,−3)D．(−3,0)【答案】B【详解】 y=−2¿为抛物线的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(3,0).故选：B．知识点三二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x−h)2+k，确定其顶点坐标(h，k)；保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下：平移规律2,0在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．【概括】左加右减，上加下减典例1（2019春沙雅县期中）函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（...