专题05万有引力定律应用模型模型界定本模型中归纳万有引力定律及其适用条件，在天体问题中主要是涉及中心天体的质量与密度的计算，沿椭圆轨道运行的天体及变轨问题．模型破解１.万有引力定律(i)内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.(ii)公式212rGmmF式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N.G是比例系数，叫做引力常量，G=6.67×10-11N·m2/kg2.(iii)适用条件万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算.对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式，如两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看做质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点，公式中r是球心间距离.当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力.例如将物体放在地球的球心时，由于物体各方面受到相互对称的万有引力，故合外力为零.2.万有引力与重力的区别(i)自转的影响当物体位于赤道上时：00，22mRRGMmFFmgn当物体位于两极时：900，2RGMmFmg当物体位于纬度时，万有引力为2RGMmF，物体所需向心力cosFnmR2是万有引力的一个分力，所谓重力是与地面对物体的支持力相平衡的万有引力的另一个分力．物体的重力产生的原因是万有引力，但在一般情况下万有引力不等于重力，重力的方向不指向地心，由于地球自转的影响，随着纬度的增加，向心力越来越小，重力越来越大，因而重力加速度也随着纬度的增加而增大．(ii)地面到地心距离与Ｒ与地球密度的影响由于地球是椭圆体，质量分布也不均匀，重力与重力加速度也会发生变化．如果只考虑地球的形状，从赤道到两极，地面到地心的距离越来越小，重力与重力加速度越来越大；如果只考虑地球自转的影响，从赤道到两极，所需向心力越来越小，重力与重力加速度也越来越大．(iii)赤道上的物体由于赤道上的物体重力与万有引力的差别在千分之四以下，因此在忽略地球处置的影响下可近似认为地球引力等于重力，有所谓的＂黄金代换＂式：GMgR2．例１.如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与k（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。答案：（1）3/222)(xdVdG（2）12/3kL，)1(/322kGkL(2)由⑤式得,重力加速度反常g的最大值和最小值分别为2maxdGVg……⑥3/222min)(LdGVdg……………⑦由提设有kgmax、gmin……⑧联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为12/3kLd,)1(/322kGLkV例２.地球可视为球体，自转周期为T，在它两极处，用弹簧秤测某物体重力为P，在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为0.9P，地球的平均密度是多少？答案：23223403043RMGTVGTR解析：设物体质量为m，地球质量为M，半径为R。在两极处：物体重力等于万有引力2MmPGR，在赤道处：地球对物体的万有引力与弹簧对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律：22240.9GMmPmRRT两式联立可得：23240RMGT地球的平均密度23223403043RMGTVGTR模型演练1.一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若...