专题二函数零点问题函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐．模块1整理方法提升能力对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．函数的凸性1．下凸函数定义设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数．2．上凸函数定义设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数．3．下凸函数相关定理定理：设函数为区间上的可导函数，则为上的下凸函数为上的递增函数且不在的任一子区间上恒为零．4．上凸函数相关定理定理：设函数为区间上的可导函数，则为上的上凸函数为上的递减函数且不在的任一子区间上恒为零．例1已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】（1），．①当时，，所以，所以在上递减．②当时，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增．（2）法1：①当时，由（1）可知，在上递减，不可能有两个零点．②当时，，令，则，所以在上递增，而，所以当时，，从而没有两个零点．当时，，，于是在上有个零点；因为，且，所以在上有个零点．综上所述，的取值范围为．法2：．令，则，令，则，所以在上递增，而，所以当时，，当时，，于是当时，，当时，，所以在上递增，在上递减．，当时，，当时，．若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是．法3：设，则，于是，令，则，令，则，所以在上递增，而，所以当时，，，当时，，，所以在上递增，在上递减．，当时，，当时，．若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是．法4：设，则，于是．令，，则有两个零点等价于与有两个交点．因为，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，，当时，．是斜率为，过定点的直线．当与相切的时候，设切点，则有，消去和，可得，即，即．令，显然是增函数，且，于是，此时切点，斜率．所以当与有两个交点时，，所以的取值范围是．法5：，令，，，则有两个零点与的图象有两个不同交点．，所以两个函数图象有一个交点．令，则，由可得，由可得，于是在上递减，在上递增，而，所以，因此与相切于点，除切点外，的图象总在图象的上方．由（1）可知，．当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象没有交点．当时，的图象就是的图象，此时与的图象只有1个交点．当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象有两个不同交点．综上所述，的取值范围是．法6：，令，，则有两个零点与的图象有两个不同交点．，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，当时，．由（1）可知，，所以是下凸函数，而是上凸函数．当与相切时，设切点为，则有，消去，可得，即，即．令，显然是增函数，而，于是，此时切点，．所以当与的图象有两个交点时，，所以的取值范围是．【点评】函数零点问题，其解题策略是转化为两个函数图象的交点，三种方式中（一平一曲、一斜一曲、两曲）最为常见的是一平一曲．法1是直接考虑函数的图象与轴的交点情况，法2是分离参数法，法3用了换元，3种方法的本质都是一平一曲，其中法3将指数换成了对数，虽然没有比法2简单，但是也提示我们某些函数或许可以通过换元，降低函数的解决难度．法4是一斜一曲情况，直线与曲线相切时的值是一个重要的分界值．法5和法6都是两曲的情况，但法6比法5要简单，其原因在于法5的两曲凸性相同而法6的两曲凸性相反．函数零点问题...