二次函数和一元二次方程知识网络重难突破已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.典例1（2018·辽宁初三期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（）A．−1<x<5B．x>5C．x<−1且x>5D．x＜－1或x＞5【答案】D【解析】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞5。故选D。典例2（2018·山东初三期末）关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（）A．m＞B．m＜﹣C．m＜﹣2或m＞2D．m＞【答案】A【详解】 x2﹣2mx+4=0有两个不同的实根，∴△=4m2-160,解得：m或m-2, 二次函数开口向上,有一个根小于1，另一个根大于3，即表明当x=1和x=3是都出现在x轴下方,∴1-2m+4且9-6m+4,解得：m,综上,m＞故选A典例3（2017·陕西初三期中）根据下面表格中的对应值：52521362005252x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是()A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【答案】C【解析】分析：根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．解答：解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．故选C．知识点二抛物线与x轴的交点情况二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根典例1（2018·湖北初三期末）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞2【答案】A14【详解】 二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=(-1)2-4×1×(m-1)≥0，解得：m≤5，故选A．典例2（2018·辽宁初三期中）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）【答案】B【详解】解：由二次函数y=x2−6x+m得到对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称， 其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为(5,0)，故选：C．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春福州市期末）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2【答案】A【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0）， a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．故选A．【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．14142．（2018春宿州市期末）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B...