Laplace方程的九点差分格式邱文林(中南林业科技大学理学院信息与计算科学,湖南省长沙市410000)摘要:本文通过网格剖分，并使x与y方向上的步长相等，来建立Laplace方程的九点差分格式，并给出其截断误差及数值算例。关键词:网格剖分;Laplace方程;九点差分格式;截断误差;数值算例中图法分类号:文献标识码:ATheNine-pointDifferenceSchemeofLaplaceEquationQIUWen-lin(Dept.ofInformationandComputingScience,SchoolofScience,CentralSouthUniversityofForestry&Technology,ChangshaHunan410000,China)Abstract:Thispaperestablishesthenine-pointdifferenceschemeofLaplaceequationonthebasisofgriddivisionandmaintainingthesteplengthofxandydirectionequally,andgivesthetruncationerrorandnumericalexample.Keywords:Griddivision;Laplaceequation;Nine-pointdifferencescheme;Truncationerror;Numericalexamples0引言方程,又称为调和方程、位势方程.因为法国数学家拉普拉斯首先提出而得名,下面要求解的是它的差分格式.代替它的传统五点差分格式,本文求解的是x与y方向上步长相等的九点差分格式[2].考虑如下二维方程定解问题,.(0.1),.(0.2)的差分格式,为简单起见,只考虑为矩形区域.其中,,,为边界点集.1差分格式的建立1.1网格剖分将区间作等分,记,,.将区间等分,记,,,称为方向的步长,称为方向的步长.记称其属于的结点[1],为内结点,为边界结点,显然.为方便起见,记,.1.2截断误差以下推导过程,令,使得方向与方向上的步长相等.在结点处考虑方程(0.1)有,.(1.1)将,分别以为中心关于运用泰勒级数展开,整理得(1.2)再将,分别以为中心关于运用泰勒级数展开,整理得(1.3)利用(1.2),(1.3)两式,整理可得---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(1.4)其中,(1.5)(1.6)再将分别以为中心关于运用泰勒级数展开,有利用上面两式,整理得(1.7)将,分别以为中心关于运用泰勒级数展开得利用上面两式,整理可得(1.8)同理,将,分别以为中心关于运用泰勒级数展开,整理可得(1.9)同理,将,分别以为中心关于运用泰勒级数展开,整理可得(1.10)将(1.8)(1.10)三式代入到(1.7),整理得(1.11)将,分别以为中心关于运用泰勒级数展开,整理得同理可得将上述两式代入到(1.11)中,整理有(1.12)---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---其中(1.13)又则(1.14)再将(1.13),(1.14)两式代入到(1.12)可得(1.15)此时,将(1.15)式代入到(1.5)中,有(1.16)再将(1.6),(1.16)两式代入到(1.4)中,可得令那么有其中是的八阶偏导数的绝对值于考虑区域的上确界,则为方程(1.4)的截断误差绝对值,为方程(1.4)的截断误差.舍去截断误差,用代替,得如下差分方程(1.17)其中结合边值条件,可得如下差分格式,(1.18),.(1.19)2差分格式的求解将差分格式(1.18)(1.19)中(1.18)改写为(2.1)系数矩阵,为三对角块矩阵,均为阶方阵.其中,---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---,由,可进一步写为均为行的列向量,其中为三对角块矩阵,实为大型稀疏矩阵,并非严格的三对角矩阵,不宜用追赶法求解,可用Jacobi或Gauss-Seidel迭代来求解此以大型稀疏矩阵为系数矩阵的线性方程组.3数值算例下面将通过方程的九点差分格式,来求解算例,并给出此差分格式下,x与y方向上步长相等时数值解的最大误差及阶.算例应用差分格式(1.18),(1.19)计算如下二维方程问题.,.(3.1),.,,.该定解问题的精确解为.表1算例部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解(1/2,1/4)(1,1/4)(3/2,1/4)(1/2,1/2)(1,1/2)1/420.95088230.24179247.25197822.12146531.9314831/4820.95088230.24179247.25197822.12146531.9314831/1620.95088230.24179247.25197822.12146531.9314831/3220.95088230.24179247.25197822.12146531.931483精确解20.95088230.24179247.25197822.12146531.931483表2算例取不同步长时部分结点处数值解的误差的绝对值(1/2,1/4)(1,1/4)(3/2,1/4)(1/2,1/2)(1,1/2)1/41.445e-72.257e-72.706-71.940e-73.040e-71/82.257e-93.525e-94.225e-93.029e-94.750e-91/163.510e-115.482e-116.575e-114.7...