==================================附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（、、、硕已讲，精细订正版）09111008一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数，最优点的一阶条件是??.?0xy?y(x))yx?(在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线．这个最大化的积分定义为独立变量、函数及它?)xt)(t(tx的导数的函数下的面积。Fdt/dx表示，我，且用到们寻简言之，假设时间区域从dtTt?t?0dx/x10找最大化或最小化T（）20.1?x(t),)]tdtF[t,(x0这里假定对、、是连续的，且具有对和的连续偏导数．Fttx()t)xx(x将形如(20．1)，对每一个函数对应着一个数值的积分称为)(xt“泛函”．一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为极值曲线”．“1．极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类．)(tx（讲！）例1一家公司当希望获得从时间到的最大利润时发现，产T0?tt?品的需求不仅依赖于产品的价格，而且也依赖于价格关于时间的变p化率如。假设成本是固定的，并且每个和是时间的函数，dtdpdp/dt/p代表，公司的目标可以作如下数学表示dtdp/p(t)]dt(t),pMax[t,p?T?0化率变成本依赖于生产水平和生产的发现另一家公司它的总)tx(．假设这个公司希望最小化成本，且和是时间的函数，公tdx/dt?xxx司的目标可以写成t(t)]t),xdtxminC[t,(?1t0足满且x(t,x)?x?)x(t1010这些初始和终值约束称为端点条件．2．例2Ramsey经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式出发，在消费预算约束)cU?U(的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey问题”—找出一条消费路径，使家庭终生效用函数最大化：)(ct)?UUc(1?)]t?[c(t??eBmax??dt??c??10????)(tt?R(n?g)e))c(t?((t)?0dt?k???0?0二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）泛函于一个：对定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）t1?t),)]dttF[,x(t(xt0必的优化是一个的曲和连接点线极值曲线即最??)())xx(xt?),(tx,(t1001是要条件?F??d?F．2a)(20???x?dtx???．为欧拉方程称之尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程．3．用下标表示偏导数，并列出其自变量，它们本身也可能是函”“数．．的欧拉方程表示为2a)(20d．2b)(20)]F,[(t,x?x,F(t,xx)xxdt，得变量的导数，并且省略自然后，用链式法则求关于”“tFx．2c)(20F??FF((?F)x)xxxxxxxt里，这22dt/?dxx证明。极值曲线的必要条件的是下面给出欧拉方程?)(txx?m图20-2证明：（重点！、、硕，已讲）111009设是图中连接点和的曲线，并且它使??20-2)xt(,(t)x?x(t),x1100下面泛函取得最大值4．t．3)(201?t),t)]dtF[t,x((xt0的一极值曲线．是为即为极值曲线，欧拉方程????(202a))(xx?x(t)xt?．必要条件个?取，是任意常数线，这里是的相邻曲???Xt)?mh(t))mx?x(?xt(也通线为了使曲也是一个任意函数．和过点，则??X(t,x)t),(tx)hX(1010端点条件：足满．4)(200?t)hh(t)?0(10值则积分和固定，一旦取定和之后，因??)t(t)t)h(t)hx(x(t1的函数，不妨改写成仅为?),x(tF[tt)]dt,m(xt0??F?)]dtg(,(t)xm(t)?mh)(t[t,x(t)?mh?t．5)(201t0化，所以优中的泛函实现最由于使．?3)(20dt(xt)]F[t,x(xt(t)),?t1t0的为时仅当时（因中的函数．5)(200m??g(m)0m实现）才能还原为??ttdtt(,xt(t)?mh)](tdt),x)](F[,)[mg()?Ft,x(t?mh(t)xt??11tt00化，即有优最dg．6)(200?0m?dm用链式法则求对．即??5)(20gdt(t)](m)?Fmh[t,x(t)?(t),xt()?mh?t1t0得．是．由于和的函数，代入的函数，依次又是7)(20xmFx/?mF?????mh)(F?x?)mh??F(x??dg?t??1dt????x?dm?m??xt?0?m5．??dg?m(x?mh)?(?)xh即，用条件．6)(20由于，有且?0??hh0?mdmmm??F?Fdg????t?0dth(?t)．18)(20?h(t)??0?mx?xdm?t??0方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分，（注：分部积分公式即vdu?vu?udv??btt?b?bu?u(t),v?v(t)aatt??a令?Fv?F?)(t,u?hx?x所以，d?FdFdv?dv?dt?(?dt?)?dtxdtdtdt?xdu?dt?t)?du?dt(...