第二章________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________時間延遲大型切換系統之穩定性研究：狀態變數切換法則2-1.簡介本章藉由李亞普諾(Lyapunov)穩定定理，針對時間延遲大型切換系統的穩定性做分析，導出三個穩定條件，此三個穩定條件均與時間延遲無關。其切換法則是依據所設計的狀態變數條件，切換於各獨立系統間，使得時間延遲大型切換系統是漸近穩定。2-2.系統介紹與問題描述考慮時間延遲大型切換系統如下:(2.1a)(2.1b)其中是第i個子系統的狀態變數，而i=1，2，…，N，整個系統的維度為和均為常數矩陣，其維度為，：是切換訊號，其為狀態變數的函數；亦即，矩陣切換於矩陣之間，此切換的結果，可用集合表示之，亦可用表示之，其中l代表第l個獨立系統，而，表示整個切換系統有r個獨立系統。矩陣切換於矩陣之間，此切換的結果，可用集合B表示之，亦可用表示之，且，是時間延遲常數，而是時間初值向量函數，其初值時間定義於。首先針對一般切換系統，使用狀態變數切換法則做穩定性探討的結果做一說明。(2.2)針對切換系統(2.2)的穩定性準則，可用下列的輔助定理說明。輔助定理2.1[]：假如存在著正常數,且，使得系統是漸近穩定，則切換系統(2.2)在下列的切換法則之下是漸近穩定.(2.3)其中V(x)是李亞普諾函數。藉由輔助定理2.1，關於時間延遲大型切換系統(2.1)類似切換系統(2.2)的組合系統(Convexcombination)，可用下式表示：(2.4)輔助定理2.2[]：存在著一個正常數，使得下列結果成立：(2.5)其中矩陣X和Y之維度是相容的。使用狀態變數切換法則，一個關於時間延遲大型切換系統(2.1)的穩定準則，可用下列定理判別。定理2.1：假如存在著矩陣和使得下列條件成立，則存在著一個切換法則，使得時間延遲大型切換系統(2.1)是漸近穩定在之下。(2.6a)(2.6b)(2.6c)其中且l=1，2，…，r。證明：定義李亞普諾函數如下：(2.7)而整個系統的李亞普諾函數為：(2.8)對李亞普諾函數(2.8)微分可得：使用輔助定理2.2，且令r=1，上式可表示為：使用Razumikhin定理，假設存在著一個常數使得則很明顯地，假如下列成立其中i=1，2，…，N且l=1，2，…，r，則。因此，時間延遲大型切換系統(2.1)是漸近穩定。切換法則：時間延遲大型切換系統(2.1)的切換法則可定義如下：(2.9)本方法也可被使用來判別大型切換系統的穩定性。考慮大型切換系統如下：(2.10)推論2.1：假如存在著矩陣，使得下列式子成立，則存在著一個切換法則，使得時間延遲大型切換系統(2.10)是漸近穩定在之下。(2.11a)(2.11b)其中且l=1，2，…，r。備註2.1：從式子(2.6a)可知，此方法僅適用於每個獨立系統均為穩定。2-3.時間延遲大型切換系統之穩定條件本節提出二個方法，均適用於獨立系統為不穩定的情況。時間延遲大型切換系統(2.1)亦可表示如下：(2.12)其中Rn，和.首先，在此先考慮具有2個獨立系統(l=2)，且每個獨立系統均有兩個子系統(N=2)的時間延遲大型切換系統，如下所示：.(2.13a)(2.13b)亦即(2.14)經由輔助定理2.1，時間延遲大型切換系統(2.13)的穩定性與下列系統一致：(2.15a)(2.15b)亦即(2.16)其中，和為了研究系統(2.15)的穩定性，本節選擇李亞普諾函數如下：(2.17)其中是實數對稱且正定的矩陣，是由下列李亞普諾方程式所得：(2.18a)(2.18b)在此定義幾個度數：和.定理2.2：假如常數，且矩陣，使得下列式子成立，則存在著一個切換法則，使得時間延遲切換系統(2.13)是漸近穩定在之下。i)(2.19a)ii)(2.19b)iii)(2.19c)證明：整個系統的李亞普諾函數如下：(2.20)對李亞普諾函數(2.20)微分，可得：(2.21)假設存在一個常數，使用Razumikhin定理，使得下式是成立：，for.則(2.22...