一类双层小世界振子网络的稳定性研究DOI：10.19850/jki.2096-4706.2021.08.007摘要：研究了一类具有随机长连接的双层小世界振子网络的稳定性。首先给出双层小世界振子网络的结构和矩阵表示，然后分析了网络连接强度矩阵C的最大特征值γ1在数学期望意义下的取值，讨论了双层小世界振子网络在无时滞和有时滞两种情况下，系统平衡点稳定和不稳定时，矩阵C的最大特征值γ1需要满足的条件。最后，给出了双层小世界振子网络的稳定性和不稳定性区域。关键词：双层网络;随机长连接;时滞;概率;稳定性：O157.5：A：2096-4706（2021）08-0024-03StudyontheStabilityofaClassofDouble-layerSmallWorldOscillatorNetworkZHOU激ng（CollegeofInformationTechnology，激linAgriculturalUniversity，Changchun130118，China）Abstract：Inthispaper，thestabilityofaclassofdouble-layersmallworldoscillatornetworkwithrandomlongconnectionisstudied.Firstly，thestructureandmatrixrepresentationofthedouble-layersmallworldoscillatornetworkaregiven，andthenthevalueofthemaximumeigenvalueγ1ofthenetworkconnectionstrengthmatrixCinthesenseofmathematicalexpectationisanalyzed.Theconditionsofthemaximumeigenvalueγ1ofmatrixCneedtobesatisfiedarediscussedunderthetwoconditionsofthedouble-layersmallworldoscillatornetworkwithouttimedelayandwithtimedelay，andwhentheequilibriumpointofthesystemisstableandunstable.Finally，thestabilityandinstabilityregionsofthedouble-layersmallworldoscillatornetworkaregiven.Keywords：double-layernetwork;randomlongconnection;timedelay;probability;stability0引言双层网络是普遍存在于我们生产生活中的一类比较简单的多层复杂网络，它是由两个单层网络通过固定的或是随机的长连接耦合而形成的“网络的网络”，如神经网络、代谢网络、新冠病毒传播网络及交通网络等一些网络中都存在着两个单层网络的彼此连接和相互作用。近年来，关于双层网络的研究已经成为众多学者的主要研究方向[1-3]。在大多数的研究中，往往为了方便讨论，通常假设双层网络的结构和节点间的连接方式是固定不变的，且不存在时滞。然而，在真实的双层网络系统中，网络内部的结构和外部的干扰对双层网络的性能有着非常大的影响。特别地，双层网络节点间的长连接是一个网络的重要标志，起着关键性的作用，因此，如果对双层网络节点间长连接的连接方式的研究更接近于实际网络的长连接的话，将更有利于人们了解和掌握双层网络的结构特征和作用机理，为探索双层网络或更复杂的多层网络的发展奠定良好的基础。目前，在双层网络的研究中，关于网络的动力学行为的研究受到了国内外专家和学者们的广泛关注，如稳定性问题、鲁棒性问题、同步问题、分岔问题等。如张楠[4]利用线性稳定性分析方法，讨论了当双层星型复杂网络的层间耦合强度不同时，网络的层间同步问题和层间耦合强度对同步稳定区域的影响;于东元[5]研究了单层网络具有相同拓扑结构的一类双层复杂网络的层内及层间同步问题，分析了镜面波和反射波的层间相互作用的动力学原理;周晶[6]探讨了一类层间由固定的连接耦合而成的双层振子网络的稳定性和分岔问题，给出了网络系统平衡点局部稳定性的判定条件和Hopf分岔存在的条件。但是，对于节点间具有随机长连接，特别是网络层间具有随机长连接的双层复杂网络模型动力学方面的研究却较少。本文考虑了一类具有随机长连接的双层小世界振子网络，其网络节点间的长连接是随机的，且单层网络的长连接概率和层间的长连接概率不是必须相等的，我们在以上条件下研究了双层小世界振子网络的稳定性问题。1双层小世界振子网络的结构本文考虑一类具有随机长连接的双层小世界振子网络模型，其结构用以下微分方程表示：这里，xi（t）表示第i个振子的位移，f（xi）表示一个非线性函数，满足f（0）=0，f'（0）=1，τ≥0表示时滞，cij表示网络的第i个节点和第j个节点之间的连接强度，如果两个节点间不存在相互连接，则cij=0，如果两个节点之间存在相互连接，则cij≠0，且cij=c激（i...