经济研究和预测模型中信息矩阵病态问题研究摘要：对常用的经济分析与预测模型中的线性回归、时间序列及灰色系统信息矩阵的病态问题进行了讨论。通过对统计资料附加干扰，基于最小二乘原理，得出每个模型中的每一参数与噪声的数值关系。指出在经济分析与预测模型的使用过程中，使用这类模型进行分析时必须考虑矩阵的病态问题，采取有效方法减轻或者消除信息矩阵的病态程度后方可使用这三种模型。Abstract:ThepaperdiscussestheoreticalandSimulatesinnumericaloftheeconomicanalysisandforecastingmodel'sill-posedprobleminlinearregressionanalysis,timeseriesanalysismodelandgraysystemmode1.Imposedinterferencenoiseondeformationobservationaldata,itcomeoutthenumericalexpressionrelationbetweeneverythreemodelparametersandthenoiseinterferenceusingtheleastsquaresprinciple.Thepaperpointsoutifoneuseanyofthethreemodelsformodelinganalysistoexplainthedeformationanddeformationforecast,onemustberequiredtoinspecttheinformationmatrixA=XTXwhetherornotwasill-posed,andtakeeffectivemethodtoreducetheill-conditionoftheinforma.tionmatrixbeforeusingthesethreemodels・关键词：经济分析；病态；线性回归分析；时间序列;灰色模型Keywords：economicanalysis；ill-posed；linearregressionanalysis；timeseries；graymodel中图分类号:F224文献标识码：A文章编号:1006-4311(2014)16-0019-030引言经济分析与预测模型中［1］,线性回归分析法、时间序列分析模型、灰色系统分析模型等都可能会产生矩阵病态问题。文献［1］对计量经济分析于预测模型中的灰色模型的病态问题进行了研究与探讨。经济分析与预测就是通过大量的经济统计数据，利用统计方法，建立经济指标或经济指标影响因素之间的数学模型，并进行经济预测，或者依据经济发展随时间空间变化特征及变化建立模型。前者有多元回归分析模型、逐步回归分析模型和岭回归分析模型等，后者有趋势分析法，时间序列分析法、模糊聚类分析模型，动态响应分析等方法等。线性方程组Ax二b中，系数矩阵A或常数项b的极小变化，会引起解x的巨大变化，称这样的方程组为病态方程组，A称为病态矩阵［2,3］。现对方程组Ax=b进行摄动分析。令A为固定非奇异矩阵，b摄动值为6b,解x则为x+8x,即：A(x+5x)=b+§b得§x二AT5b,由范数的定义得:II5x||?|A-1||•II5b||,||b||?燮||A|•丨Ix||,则：■?燮||A-1||-||A||•■(1)从式(1)可以看出，常数项b的微小变化8b在解x中可放大I|A-1||•||A||倍。令b固定，A摄动一个SA,解x变为x+5x,即：(A+8A)(x+8x)=bo女口果不受限制，A+5A可能奇异，令：(A+5A)二A(I+A-15A)当A~15A?燮1时，(I+A-l5A)-1存在，得：Sx=-(I+A-16A)-1A-1(6A)x,||6x|I?燮■。若||A-16A||?燮1,有：■?燮・(2)从(1),(2)式可以看出，||AT||||A||愈大，A,b摄动时，解X的变化就越大，llA-lll||A||则是解相对于原始数据变化的灵敏度，是反映方程组病态的指标，称cond(A)=||A-1||||A||为矩阵的条件数。常用的条件数是谱条件数：cond(A)2=||A-1||2||A||2=BO当A是实对称矩阵时，cond(A)2=H,XB,入■分别为A的按模最大和最小特征值。信息矩阵的病态影响了经济分析与预测模型的解释和预测的精度和准确性。本文对回归分析模型、时间序列模型和灰色GM模型中的病态问题进行了讨论与分析。对经济统计资料施加噪声，基于最小二乘原理，给出上述模型每一个参数与噪声的关系表达式。1回归分析模型中的病态问题考虑如下多元线性回归分析［4］：y■二b・+b・x・+・・・+b・x・+e・•••y■=b■+b■x■+•••+b■x・+e・(3)其中yi,xij分别为经济统计数据的因变量和自变量，bi为回归系数，ei为观测误差，假设ei服从独立同分布的N(0,。2),k为回归方程的阶数，N为经济统计数据样本长度。式(3)用矩阵形式可以写成Y=Xb+e(4)其中Y二y・，y・，•••，『■■,b二b・，bH,…，e=eH,e・，…，X=1x.・••x.lx・…x................................1x・・••xH令A二XTX，C二XTY,则式(4)的正规方程为Ab二C(5)则b的最小二乘(LS)估计为b二(XTX)-1XTY二？准TY二A-1...