一、问题重述1.1问题背景人类社会的迅速发展过程中，人口与资源之间的矛盾已日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。人口预测研究是国家制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于国民经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。1.2问题重述试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，通过相关数据，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。二、模型的基本假设为了便于对问题的分析，本文首先作了如下假设：（1）假设每年影响人口总数的因素相同；（2）假设城、镇、乡的人口基数都是准确无误的；（3）假设我国没有人口迁入或迁出；（4）假设老龄化人口是65岁以上；（5）假设预测的时间段内没有发生自然灾害或战争等重大事件影响总人口数。三、问题分析人口变化受到诸多因素的影响，因此对人口的预测比较复杂，并且很难在一个模型综合考虑各种因素。根据问题中要求对中短期和长期的人口进行预测，我们根据不同的时期建立不同的数学模型。3.1对中短期人口增长预测的问题分析根据问题所给的相关数据，我们发现影响人口增长的因素很多。由于是对较短的时期的人数进行预测，因此我们将15年作为一个较短的时间段。经过讨论认为利用灰色预测模型可以进行中短期预测，计算误差率，并分析预测结果，也可以通过与专家预测的数据进行比较，从而判断预测的合理性。3.2对长期人口增长预测的问题分析在对中短期的人口预测时发现，由于人口数量受很多因素的影响，人口数据具有一定的波动性，也就是说时间与人口数未必有线性关系，因此对长期的人口增长利用曲线拟合模型，长期是相对于预测初期而言的，并不是永久性的，所以不能预测更长远---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---的人口数据。四、符号说明及名词解释5.1名词解释本文对中短期和长期作如下解释：中短期：距2005年1-15年内的时间；长期：距2005年16-25年内的时间。5.2符号说明为了便于对问题的求解，本文对以下变量作说明：原始数据序列生成序列原始序列第个数据新序列第个数据第个紧邻均值第年的预测人数前年的预测人数第个残差第个相对误差平均相对误差绝对关联度给定关联度序列的均值的方差残差均值残差方差均方差比值小误差概率给定小误差概率五、模型的建立与求解5.1对中短期人口增长预测的模型建立与求解5.1.1模型的基本原理数列预测（1,1）模型是把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。灰色系统理论的微分方程成为模型，表示（灰色），表示（模型），（1,1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。（1,1）基本原理如下：记原始数据序列为非负序列：其中，。预测第期，第期，的值：设相应的预测模型模拟序列为：设为的一次累加序列为：，为的紧邻均值生成序列：其中，。称为（1,1）模型，其中是需要通过建模求解的参数，若为参数列，且，则求微分方程的最小二乘估计系数列，满足：称为灰微分方程，的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有:(1)白化方程的解或称时间响应函数为：(2)（1,1）灰微分方程的时间响应序列为：(3)取，则:(4)还原值5.1.2模型的建立与求解-...