洛必达法则求极限用极限的四则运算法则一洛必达法则求极限的常见错误分析第21卷第2期Vol・21No.2［数理化科学】重庆工学院学报JournalofChongqinglnstituteofTechnology2007年2月Feb.2007用极限的四则运算法则、洛必达法则求(，安顺561000)摘要:极限运算法则.洛必达法则在求极限时常用到•通过实例对应用法则求极限时常见错误进行了分析，并与正确的解法进行了比较•关键词:极限;错误;分析文章编号:1671-0924(2007)02-0051-03AnalysisontheCommonErrorsinUsingFourArithmeticOperationsandLHospitolRuleforLimitEvaluation中图分类号：O13文献标识码:AWUQing2cheng(AnshunVocationalandTechnicalCollege9Anshun561000,China)Abstract:LimitAlgorithmandL，HospitalruIearefrequentlyappliedtolimitevaluation.Thispaperana21yzesthecommonerrorsintheapplicationoftheserules,andcomparesthemwithcorrectsolutions.Keywords:limit;error;analysis求极限是高等数学中极其重要的内容之一，也是高等数学中的基础部分，因此熟悉求极限的方法对学好高等数学具有重要意义•求极限时常用到极限的四则运算法则和洛必达法则，但是在应用时一定要注意，否则容易出错，本文中将通过具体例子对此进行分析.例1求X—02n2n错解dimx—>0n2+•••+=limx—>02+limx—>02+…+limx—>00=02=0+0+・・・n1用极限的四则运算法则求极限时的常见分析••极限的四则运算法则仅对有限个函数适用，上例括号内是n个量的和，当时HT®项数为无穷多项，因此不能用极限的四则运算法则来求.正解:n错误1）对无限个函数的和（或塞积等）用极限运算法则.E收稿日期:2006-11-20+n2+•••+作者简介:伍庆成（1972・），女，湖南人，讲师，主要从事高等数学的教育和研究.52Iim重庆工学院学报n=limx—022nlimx—>3=x+332）每个参与运算的函数的极限不都存在时用在使用极限的四则运算法则时，必须注意2点[1]:①法则要求每个参与运算的函数的极限存在;②商的极限的运算法则有个重要前提，即分母极限运算法则.例2求lim错解:limXTOOXTOO=Iim的极限不能为0•当这2个条件中任何一个条件不•limsinx=OX-^oo具备时”XTOO分析:上面计算中第一个等号是错误的，因为limsinx不存在,1)对不满足达法则.COSX例5求lim(x^Olnl+sinx)Ocosxcosx错解:lim(=lim=0x-^01nl+sinx)x^0(l+sinx)分析:洛必达法则只适用于型型不定Ooo型型不定式直接运用洛必Ooo贝!).正解:X,|sinx|<l,:XTOOlim=lim(XTOO•sinx)=03)分母的极限为零时，求商的极限用极限的四则运算法则.例3求limx—1x-3x+2lim(4x-3)错解:lim2==2x—>lx-3x+201im(x-3x+2)Xf1式，而不能应用于非不定式的场合，而本例中limecosx=e.X—0分析:极限四则运算法则明确指出，当limf(x)及limg(x)都存在且limg(x)^O时有lim=g(x)，也就是说，商的极限的运算法则有个重limg(x)正解:因为lim=x^Oecosxcosx=0，所以lim=oo.x^01n(l+sinx)elimln(l+sinx)limecosx要前提，即分母的极限不能为零•本例中lim(x2-x^l洛必达法则还可用来求0•00,00-00,Ooo,Ooo00,1型未定式的极限，求这几种未定式极限的3x+2)=0,显然不能用极限的四则运算法则.正解:由于limx—14x-32lim(x2-3x+2)lim(4x-3)x—1基本方法是设法将它们化为型或型.Ooo大量的倒数关系，得1lim2=oo.XT1x-3x+22例4求lim2x—3x・9分析:因为lim(x2-9)=0^以应考察分子极X—>3(secx・tanx)=lim(解:limx2(secx-tanx)(oo・oo例6求lim型)x=0,由无穷小量与无穷x2)=-cosxcosxlimx2(化为型)=lim==OcosxlOx-sinx22)把函数当作整个分式来微分.限，而lim(x2・4x+3)=0,即分子极限也是0,与例X—>3例7求lim+xlnxx—0错解:lim+xlnx=lim+=lim+x^0x^0x^0(l+lnx)=oolim+23分子极限不为0不同，故不能用例3的解题方21nx法.注意到分子和分母分解因式后出现公因子（X・3）,由极限定义知,x—3但x*3,即十3刮,故可消去公因子后再求极限.解:limx—3Xf02=lim=2x—3(x+3)(x・3)x・9分析:用洛必达法则时应将分子.分母分别微分.伍庆成:用极限的四则运算法则、洛必达法则求极限的常见错误分析53正解:lim+xlnx=lim+x—0XTO=lim+x^O2Xf0(-x)=Olim+3)当limx—x不存在时，断定lim也不(x)x^xg(x)grO存在...