有限元法的力学基础中空间一点应力状态矩阵化思维教学研究伍建伟淮旭鸽赵亮亮鲍家定【摘要】弹性力学是有限元法的力学基础，空间一点应力状态是实际中我们常常遇到的问题。然而，目前这部分的教学内容都是基于微小单元通过力学平衡的角度来进行严密推导的，計算上显得繁琐，教学效果并不理想。对此，该文在严谨力学推导的基础上，总结出空间一点应力在不同斜面上的应力状态，实质上就是应力矩阵和斜面外法线的数学运算，而主应力和主平面即为求解应力矩阵特征值和特征向量的问题。通过空间一点应力状态的矩阵化思维，概念清晰、容易记忆、且运算简单，可以很方便地结合现代计算机技术进行计算求解。【关键词】有限元；应力状态；特征值；特征向量；教学研究：TB121/G642.0：A：2095-2457（2018）26-0231-003DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.106TeachingresearchonmatrixrepresentationofspatialstressstateinthemechanicsfoundationoffiniteelementmethodWUJian-weiHUAIXu-geZHAOLiang-liangBAOJia-ding（MechanicandElectronicEngineering，GulinUniversityofElectronicTechnology，GuilinGuangxi541004，China）【Abstract】Elasticityisthemechanicalbasisofthefiniteelementmethod.Spacestressstateisacommonprobleminpractice.However，thecurrentteachingcontentofthispartisbasedonthemicro-unitstoperformarigorousderivationfromtheperspectiveofmechanicalequilibrium.Thecalculationiscumbersomesothattheteachingeffectisnotideal.Then，basedontherigorousmechanicsderivation，thespatialstressstateondifferentplanesisanalyzedandsummarizedinthispaperandessentiallythemathematicaloperationofthestressmatrixandtheouternormalvectoroftheplane.Infact，calculatingtheprincipalstressandtheprincipalplaneisconvertedtosolvematrixeigenvaluesandeigenvectors.Throughthematrixrepresentationofapointstressstateinspace，theconceptisclear，theexpressioniseasytoremember，andtheoperationissimple，whichcanbeconvenientlycombinedwithmoderncomputertechnologytosolve.【Keywords】Finiteelementmethod；Stressstate；Eigenvalues；Eigenvector；Teachingresearch0前言有限元分析[1-3]是随着计算机技术发展而迅速发展起来的一套力学问题数值求解方法，是解决复杂工程问题动静态分析十分重要的工具，在培养学生的科学研究能力和工程应用能力中起着十分重要的作用。弹性力学是有限元法的力学基础，空间一点应力状态是实际中我们常常遇到的问题。然而，目前这部分的教学内容都是基于微小单元通过力学平衡的角度来进行推导的，虽然严谨，但在计算上却显得繁琐，学生不但计算不便，其公式也难以记忆。还有学生甚至表示，材料力学中的平面应力状态的公式就难以记忆并应用。通过课后作业情况来看，这部分内容的教学效果并不理想。对此，本文在严谨的力学推导基础上，总结出空间一点应力在不同平面上的应力状态，实质上就是应力矩阵和斜面外法线的简单数学运算，而主应力和主平面即为应力矩阵的特征值和特征向量问题。据了解，大二上学期本科生已经学习了线性代数，完全可以用矩阵思维来进行运算求解，一方面能够巩固所学知识，另一方面也有利于所学知识的运用。最后，通过举例来说明了空间一点应力状态在不同斜面的表示以及主应力和主平面的求解流程。1空间一点应力状态1.1任意斜面上空间一点应力状态假定已知一点P处坐标面上的6个应力分量，求经过该点斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，如图1所示。当四面体PABC无限减小而趋于P点，平面ABC上的应力就是该斜面上的应力[4]。设平面ABC的外法线为n'，其方向余弦cos（n，x）=l，cos（n，y）=m，cos（n，z）=n。如果需要得到切应力为τn在斜面的方向，则需要先定义一个沿该斜面的坐标系，然后通过px，py，pz向该坐标系投影来计算。根据平面方程的概念可知，若給定一个斜面方程：易知，A，B和C为该平面外法线n...