一道题目引出的“是超几何分布还是二项分布”的案例分析【摘要】从近几年的高考数学试题中可以看出，几乎每套试卷都考查了分布列或期望值，涉及超几何分布与二项分布的分布列和数学期望问题已成为常考题型，但发现学生在几次考试中，这类题目的得分情况并不乐观，甚至可以说失分比较严重，归结其原因主要有：①基本的计算错误；②对超几何分布与二项分布的概念模糊不清而导致运算失误.本文主要是通过一节试卷讲评课遇到的一道有关分布列的试题，来分析因概念模糊不清导致的错误。【关键词】高考；数学【】G633.65【文献标识码】B【】1671-8437（2018）10-0060-021课堂再现【题目】2013年春季，我国多个地区出现了H7N9禽流感疫情，为强化对H7N9禽流感疫情的防控，许多新闻媒体介绍了H7N9禽流感防治常识，比如：勤洗手、室内通风换气、注意营养、保持良好体质有利于预防流感等呼吸道传染病等。为此，某中学举行了“H7N9禽流感防治常识”知识测试。已知在备选的10道试题中，甲同学能答对其中的6道题，乙同学能答对其中的8道题，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。（1）求甲、乙两同学至少一人测试合格的概率；（2）求甲同学答对的试题数X的分布列和数学期望。师：由已知条件你能够知道甲、乙两同学测试合格的概率各是多少吗？生：题目中提到“至少答对2道题才算合格”，所以甲测试合格的概率应该等于甲答对2道题的概率加上答对3道题的概率，乙的也是一样。师：很好，那么甲、乙两同学测试合格的概率我们就清楚了。对于问题（1），“至少有一人测试合格”包含了几个基本事件？生：三个，一是甲合格乙不合格；二是甲不合格乙合格；三是甲乙都合格。师：那我们怎么计算问题（1）中的概率？生：将三者的概率都算出来，然后相加就可以了。师：相加就可以了吗？为什么能这么做？生：因为三个事件互斥。师：很好！不过上面的方法算起来有点繁琐，请同学们思考一下，还有没有更简洁的方法？生：可以从它的对立事件着手考虑，“甲、乙两同学至少一人测试合格”的对立事件是“甲乙都不合格”，所以我们可以先算它的对立事件的概率，再用1来减。师：回答的很好，那大家一起把解答过程写出来吧！解析：（1）设甲、乙两人测试合格的事件分别为A、B，则，甲、乙两同学测试均不合格的概率为：故甲、乙两同学至少有一人测试合格的概率为：师：问题（2）“求甲同学答对的试题数X的分布列和?笛?期望”，X的所有可能取值有哪些？它服从什么分布？X取每个值时的概率是多少？怎么计算？生：有0、1、2、3，此时只有十来个学生回答X服从超几何分布，而且隐约听见有其他学生回答服从二项分布，刚开始我也没有在意，就继续往下上课。）师：既然这样，那我们就可以利用超几何分布的相关知识解答了。解析：（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，则甲答对的试题数X的分布列如下：甲答对的试题数X的均值为正当我准备继续评讲下一道题的时候，一位学生提出了问题：我觉得X应该服从二项分布，我用二项分布解出来的数学期望和老师的一样啊！师：哦，那你能不能说说看你是怎么解的？（这时候的我也带着点好奇心等待他的讲解）这位同学解释道：总共10道试题，甲能答对其中的6道，也就是说他答对每道题的概率可以认为是，答错的概率为，从中抽出3道题，所以，X的可能取值为0，1，2，3所以甲答对的试题数X的分布列如下：又，所以（竟有相当部分的同学也是这样认为的）师：到底是超几何分布，还是二项分布呢？同学们有其他的看法吗？我一边提问一边观察同学们的表情，发现很多同学还是一脸的迷茫。此时我才发现，对于概率统计的这类题目，本以为学生应该只是会在计算上出现较大的问题，没想到还会因为对超几何分布与二项分布的概念产生了混淆，概念模糊不清，理解不够深刻而导致错误。想到了原因，接下来就有对策了。1.1重新认识超几何分布与二项分布的定义超几何分布的定义是这样的：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*。则称随机变量X服从超几何分布...